手術の内容については直接かかりつけの先生に聞いた方がいいと思います。

麻酔の事ですが麻酔が効きやすい体質より効きにくい体質の時の方が危険であると言えます。一般に肥満体質の方が麻酔が脂肪の方に移行してしまうので麻酔が効きにくいです。
効きやすい場合少しの分量で麻酔効果が得られるのに対して効きにくい場合麻酔の投与量が多くなってしまうので麻酔から覚めにくくなり危険になります。
麻酔には注射麻酔と吸入麻酔があり、病院によっては注射麻酔のみで行うところや吸入麻酔で行うところがあります。吸入麻酔を使った場合リスクは少なくなりますが料金は高くなりますが、手術の内容にもよります。
あと、大学病院に行っても麻酔医は居ません。獣医師の場合麻酔係は手術毎に交代でします。

また、時には運悪く手術に耐えられない事がありますが、それは年齢や体調に影響します。
そのことが原因で手術がうまく行かなかった場合、責任は取れませんということをその先生はおっしゃってるのだと思います。
ただ年齢的には少し心配があると思います。大まかですが、犬の年齢は人に換算すると１年に７歳年をとります。だから１３歳というのは若いとは言えません。

あと、心臓が悪い事までわかっているという事は麻酔を打つ際の検査はされていると思います。言ってみれば、それ自体が検査だと思います。
どういったうわさか分かりませんが、人でも麻酔で死ぬことはあると思います。