こんにちは。
中国で使用されているワクチンというのが具体的にどの病気について予防する事になっていてどういう組成で作られているのかは、詳しくありませんが、一般論としてお答えしておきますね。
＞「一緒に打っても問題ない」
という事ですが、正確には「一緒に打っても問題ない（事が多い）」というお話ではないかと思います。
確かに問題ない事が多いですが、複数（今回は合計４種？）のワクチンを打てば打つほど発熱等の異常くらいは出やすくなると思います。

ワクチンなので強い病原性を発揮したりはしないで、通常ならせいぜい２〜３日で平常に戻る・・・事になっています。
＞別々の部分に
白血病のワクチンを接種する際に、注射部位（通常は背中）を太腿などにかえた方がよい事があるのですが、多分その話の事ではないかと思います。
注射部位から腫瘍が発生する事がある・・という事で一頃ずいぶんと話題になりましたので。
実際に日本で使用されているワクチンでは、アメリカで昔問題になったアジュバントを使用しているメーカーはなく、現在では白血病を含む４種、５種、７種混合ワクチンが使用されるようになってきていますから、別々に打つべき・・・という原則も崩れてしまっています。

実際の対応としては、注射後の悪寒や注射部位の痛みがあるようですので、ストレスを与えないように保温に気を付けておとなしくさせておくだけでよいはずです。
もんだりすると痛がると思うので、注射直後ならいざ知らず、問題の場所にはふれな方が無難に思います。
数日で改善がない場合、血液検査等をおこない、「一見健康そうに見えていたけれど実は具合が悪くなかったか・・・」について再評価した方が良いかもしれません。
肝酵素値の正常より高い患者さんとかだと、一見普通にしていても、ワクチン打つときつくなる事とかもあるようですので。

いずれにせよ、中国の獣医療の実態というのがよくわかりませんが、「安静」と「保温」は体調が悪い時の基本だと思います。