こんにちは。
お見受けしたところ、そもそもあまり動物がお好きではないのでは？
私は自分の予想以上に動物好きで（牧場で働いてみてわかった）、犬猫を飼っている他、牛馬も鳥も大好きです。（思い切り余談ですね）
動物好きな人もいれば、そうでない人も大勢います。私は犬猫が大好きで、うちの犬猫たちを家族、相棒と思い愛しています。　猫嫌いさんは犬も猫も飼われているようですが、なぜ飼っているのでしょうか。
　猫がお好きでない、でも保健所なんて・・とお思いなら、他に猫を飼える方を探すというのはどうでしょうか。ご近所で見つからなければ、地域のボランティアに相談するとか、インターネットでの里親募集というのもひとつの方法です。（インターネットの場合、やりとりは慎重に）
　ワンちゃんには愛情を持って接することができますか？
犬嫌い、猫嫌いな方もたくさんいます。私の友達にも動物嫌いな人はいます。だから、その友人に「犬猫はかわいいよ、飼ったほうがいいよ」なんて言いません。人それぞれですから。
でも逆に、私の父や姉、友人は、私の猫好きが伝染し、猫をとても愛してくれるようになりました。（それまでは猫嫌いだった）　そういうケースもあります。

好きでないのに飼うっていうのは、お互いにあまり良くないのでは？（猫にもご自身にも）
お互いにとって最良の選択肢を見つけてください。