当サイト内の「飼い主募集掲示板」でお世話係を担当しています。

たしかに、犬や猫に「里親」「里子」という呼称を使うのはすでに一般化していて、検索でヒットさせるためにはその呼び方を使うメリットは計り知れないです。
が、当サイトは「里親募集掲示板」ではなく「飼い主募集掲示板」としています。
児童福祉関係機関から犬や猫に「里親」「里子」という呼称を使わないでという要請はかなり以前から出されていました。
児童福祉に専門的に取り組んでいらっしゃるところから「悲しむ者がいるんだ」と言われれば、それを無視してまで犬や猫に「里親」「里子」という呼び方を押し通す気持ちはありません。「飼い主募集」で充分だと思います。

こう書くと、「飼い主」「飼い犬(飼い猫)」という言葉はイメージ的に犬や猫を見下している感じがあって、飼い犬や飼い猫と呼びたくない、だって家族だものという方々には違和感があるかもしれません。「ペット」と呼ぶことすら冷たい感じがすると言われてしまう時代です。「飼い主」ではなく「○○ちゃんのパパ・ママ」、「飼い犬・飼い猫・ペット」ではなく「うちの子」の意識が広く浸透しています。

児童福祉の方々にとっては切実に困ったことがあるから「犬や猫といっしょにしないで」なんだと思います。
犬や猫の活動をしている人はその声を一度真摯に受け止めて、じゃどうしたらいいんだ?
を考えるべきでしょう。

児童福祉の里親制度にはいくつかの種類がありますが、一定の養育期間を設けるのが一般的です。18歳までの養育あるいは20歳までの養育など。もっと短期の養育もあります。
もちろん、養育期間が終了しても親子同然の関係が続いたり、正式に養子縁組をしたりして、関係が続いていくことがほとんどです。
が、制度としての「里親」は、「はい、この日まで」という区切りがあるのです。
犬や猫を貰い受けるということに、「はい、この日まで」という区切りはありません。
この視点からすると、犬や猫に「里親」「里子」はおかしいのです。一生、養育するのですから。