人医です。

ワクチンのアレルギーで重篤なものは通常、２回め以降に起こります。
１回目のワクチンで、ワクチンの中の何らかのアレルゲン（アレルギーのもと
たとえば花粉症の花粉のようなものです）に対して免疫反応が起きます。
免疫細胞が抗原の顔を覚えて、それをやっつける抗体を産生できるようになり
ます。
この免疫反応は、次に抗原が入ってきたときには１回目よりも過剰に反応し、
これは暴露（抗原が体内に入ってくること）回数を重ねる毎に強く反応する様
になっていきます。
このしくみは、アレルギーに限ったことではなく、この免疫反応をうまく利用
しているのがワクチンによる病気の予防なのですが、ときどき、本来の目的と
は異なる過剰な免疫応答がおきることがあり、これが一般に、ワクチンアレル
ギーとよばれているものです（詳しくは微妙に違うのですが）。
ということで、初回のワクチンで何もなかったからというのは何の保証にもな
りません。
アレルギーの最重症型のものは迅速に適切な処置を行わなければ死に至るもの
です。
ワクチン接種後最低２時間くらいは、何かあったら、すぐに獣医さんへ駆け込
めるようにしておいた方がいいと思いますよ。

楓様からもレスがついていますが、ワクチン接種を十分に時間の余裕のある日
に変更されるか、もしくは外出の予定を変更されるか・・・がよいと思います。