しつけの基本は愛情と努力と忍耐です。
スタートラインに立つために、ほかに何がいるのでしょう？
それに、一般にしつけを始めるのは生後２〜３ヶ月から、
去勢や避妊をするのは早くても６ヶ月だと思います。
時期が前後していませんか？
私自身も犬を飼っておりますので、
自分で基本的なしつけはしましたし、避妊手術も受けさせましたが、
手術より先にしつけはほぼ終わっていました。
失礼ながら、そのしつけ教室の教えが間違っていると思います。
おそらく、動物を人間と同等なもの（＝家族、友達など）としてではなく、
支配するもの、従わせるものとして考えているのではないでしょうか。
私の勝手な思い込みかもしれませんが。
すでに何度か書いていますが、
去勢や避妊はあくまでも子供を作らないことが目的であって、
動物をおとなしくさせるのは本来の目的ではないのです。

車酔いは確かに頭の痛い問題ですね。
もともと犬は車に乗らないものですからしかたがないのですが。
さて、その獣医さんの言われるとおり
安易に酔い止めを使うべきではないと思います。
どんな薬でも多かれ少なかれ必ず副作用がありますし、
使い続けると効かなくなることもありますので。
しかし、本当に必要な場合に必要な量だけ使うなら
問題はないのではないでしょうか。
もちろん、その場合もきちんとリスクを考えた上で、ですが。
トリミングの際の鎮静剤も、
その犬にとってトリミングが本当に必要であり、
且つ犬が暴れてどうしてもトリミングできないという状況であれば
犬のためにもトリマーさんのためにも使うべきだと思います。