もしやメスのジャンハムですか？
飛び出したのはホルモン・腫瘍も含め、各種病因が考えられます。
目の周りが赤くなっているのは、おそらく眼球が出た事により、
周囲の膜が炎症を起こしているからだと思います。
いずれにせよハムスターが診れる病院にいくしかないとは思います。

ただ、医学的確証は何にもないのですが、ヨード分を取らせる
（要はホルモン関係）という意味でか、キャベツを多めに与えて
多少の改善が見られた事が何度か有ります。
食事内容を検討してみて下さい。ペレット主食なら問題ないはずですが、
一般にハムスターの餌として売られている飼料だとヒマワリの種等が
多く、あまり歓迎できない事があります。
もしその様な餌を使っているなら、ヒマワリはおやつ程度の２・３粒。
キャベツを含めて野菜を多めに各種与える。歯の為にもなりますから、
ペレットを加えてみて下さい。
ちなみに我が家では、常時最低４種類の野菜を軽く一握り上げていました。
これくらい上げると水分補給も野菜だけで済むようですが、これからは
暑くなりますので給水器も必要ですね。
２歳といえば老化も始まってきます。食事内容を検討する事で
より健康に長生きしてもらいたいですね。
何をどれくらい食べているか、水をどのくらい飲むか、おしっこの色は等
毎日の観察をよりこまめにしてあげて下さいね。
よくなる事を祈っています。