散歩の時間をずらして行くのは、とてもいいことですね。
ダックスは特に地面に近い犬でもありますので、できれば、アスファルトを一度手で触って確認してみてください。
人間の高さでは、気温が低くなっていたとしても、アスファルトはまだまだ十分熱を持っていることは多いものです。
もちろん、公園など、アスファルトではない場所であれば、かなり低くはなっているでしょう。

もう一つは、犬の状態をよく観察していただくことです。
熱中症の犬は、突然倒れるのではなく、やはりサインを出しているものです。
呼吸の仕方、舌の出し方、目つき、行動などいつもと違うサインを見つけたら、体が熱くなっていないか確認しましょう。
また、常日頃も犬の体を触り、様々な状態（寝ているとき、運動後など）での体温の変化も覚えて置かれるといいですね。

また、私は夏の散歩の水は、半分ほど水をペットボトルに凍らせておき、出かける前に水をいれ、また１本は通常の水を入れておきます。
途中、冷たい水を犬に与えながら歩きます。
通常の水は、冷たすぎないようにも調節できますし、氷を融かしながら歩いて次の給水ポイントまで歩きます。
こまめに水を与えるといいですね。
もちろん、この方法は翌日お腹を壊さないか確認しながらの方法ではあります。
最初のうちは、あまり冷えた水ではない方がいいかもしれませんね。