あくまで個人的な見解ですが、あまりにレスがつかないようなので・・・。

　私だったら、ハッキリ言ってしまいます。
　車での移動、という合理的な理由があるわけなので、前からの病院の獣医師も普通は納得してくれるでしょう。
　もし納得してくれなかったら、新しい病院に全部お任せすると。

　畜主と病院との間には、感情的ないさかいはないほうが良いですし、相互の信頼関係があるほうがいに決まっています。が、それらはいわばオプションであって、根本は、獣医師の技術や時間を畜主が金で買う、というドライな契約関係です。友人関係ではありません。
　その意味で、どこで何を買うかの決定権は畜主にあります。

　が、とはいえ、実利的にも、診察に継続性がないのは診察を受ける動物にとって不利です。「かかりつけ」は決めてしまうほうがいいと思います。
　「かかりつけ」と「セカンドオピニオン」あるいは「かかりつけ」と「この部分の担当医」というふうに整理するのがよろしく思います。当然、匿名さんが運ぶか、直接やりとりしてもらうかはともかく、カルテや検査結果やレントゲン写真やらは、その必要がある場合には、病院Ａから病院Ｂへ、またその逆へ、伝わる必要があります。

　ただこれも手間ですから、お近くの病院に絞るほうがいいような気がします。心配しておられる「大病」が、以前に最初の病院で診てもらった病気と関連のあるものならともかく、あるいは機械に大差があるのならともかく、「今後かかるかもしれない病気」ならば、そんなに心配しないでも。以前の病院からカルテのコピーをもらって新しいほうに渡してもいいわけですし。