こげこげさんへ。
散歩中に木の枝を拾って食べることが遊びとして習慣化しているんですね。
それをそうさせたのは飼い主のほうに原因があります。
取り上げようとしたり叱ったりすることが、楽しい『木の枝争奪ごっこ』になっているんですよ。
きっと木じゃなくても、飼い主がキャーキャー言ってくれるものなら、
なんでも『ごっこ』の対象になるはずです。
取り上げようとしたり叱ったりせず好きにさせておけば、
犬は楽しくないのでそのうちにそんなことはしなくなるでしょう。
が、飼い主の気を引くためにますますやるようになることもあるので、
できればうまくやめさせたいですね。

『ごっこ』を応用してやめさせる練習をしてみましょう。
飼い主が木の枝(ほかのなんでもいいのですが)を持ち、
それを見せて「おすわり」や「待て」を練習します。
「おすわり」や「待て」ができても木の枝は渡さずに全身をなぜて誉めます。
最初はごほうびとしてほんの少しの食べ物を併用してもかまいません。
［木の枝］［(食べずに)待った］［誉められた］の反復練習をするのです。
これは散歩中ではなく自宅でやるようにします。
そういう遊びは散歩中にはしないという癖をつけるのです。
散歩中はリードを短く保って落ちているものを口にしないことを守ってください。
32キロの体格があれば木の枝くらい平気で飲み込みますが、やはりいいことではありません。