句点の付き方で分かり難いので確認をさせてください。

>生後１、５ヶ月の時に健康診断などを受け、２ヶ月の頃には狂犬病、ワクチンを打ちました。

「狂犬病ワクチン」を打たれたのですか？
それとも、「狂犬病ワクチン」と「混合ワクチン」を、それぞれ打たれたのですか？


「狂犬病予防法」により生後90日を越えたイヌに対して年1回のワクチン接種が義務付けられています。

狂犬病接種は生後３ヶ月を過ぎてからの接種が多いと思います。
生後２ヶ月齢の子犬に狂犬病ワクチンを接種されたのでしょうか？

念のためにワクチンと括弧内が交付されるものですので確認をしてくださいね。
１．狂犬病予防注射　（狂犬病注射証）
２．混合ワクチン（３種〜９種）　パルボウイルス、イヌジステンパーウイルス、ケンネルコフなどの伝染性の感染症予防の為のワクチン（接種証明書）

法律で決められているワクチンは狂犬病だけです。
混合ワクチンは、自分の犬はもちろん他所の犬に病気を感染させないようにする予防接種です。
子犬の場合は、母犬から貰った免疫力が低下し始める頃に混合ワクチンの接種をして免疫力をつけるのです。
ですから、母犬の母乳をどのくらい飲んでいたのかも関係しますが、２回〜３回接種することになります。

一般的に狂犬病接種と飼い犬登録を同時にする事が多いので、保健所に「飼い犬登録＝蓄犬登録」も済まされているのですか？
その場合には、犬鑑札と狂犬病接種済証が交付されます。

混合ワクチンが２〜３回終了後２〜３週間たって免疫力が出来た頃からお散歩デビューになります。