純血種の場合も犬種特性を先入観にしてしまうと、思いこみで犬が見えなくなってしまいます。
純血種であっても雑種であっても全てひっくるめてその子の性格や性質ですから、
ダックスだから雑種なのでと、決めつけないようにしてあげて欲しいと思います。
犬は、飼い主が喜ぶことをしたくて仕方がないのです。
その為に、飼い主の喜ぶ顔が見たくて知らず知らずに犬に無理をさせてしまう事もありますから。

さて、クレートの中が犬が一番安らげる空間となっているのであれば、それはそれでOKなのですよ。
その中で自分の意志で８時間いようがいまいが、犬の自由意志なのですから。
無理に、室内で開放しなければいけないと言うことでもありません。
でも、クレートを使う場合も扉は開けた状態で犬が自由に出入りできる空間をサークルで囲ったりして作ってあげてください。
扉を閉めた状態で押し込めていなければ、どのような形でもいいのです。

しまさんが帰ってきて室内で自由にのびのびとさせればよいです。

オモチャやガムに関しては、飼い主がいる時に与えることをお薦めします。
可哀想だとか寂しいだろうからと、おもちゃで一人遊びをさせることは、あまり好ましい事とは言えません。
犬の性格によっては大丈夫な子もいますけれど、犬は基本的に何でも口にし、飲み込みますから、事故（誤飲）防止の為でもあるのです。
退屈をさせないのならTVやラジオをつけて外出するのも良いと思います。

しつけの本などには、出かける前や帰った時は無視してとありますが、無視するよりずっと聞き分けをしてくれます。興奮が過ぎる場合にはまずは、落ち着かせますが。
だから私は、「かあさん仕事に行くよ！ブーブ（車）に乗ってクルクル（一周）する？」と出かける時に愛犬に話をしています。
そして、車に乗せて近所を一周することで、犬は自分からお留守番モードになります。
帰宅すれば、思い切り愛情表現してくれますし良く喋ります。
私は彼女の体を撫でてあげ好きなだけ私を舐めさせています。

ママは、おまえを養う為に昼の間は狩に行くの。
良い子で留守をしっかり守ってね。

犬との良い関係とは、主従をしっかりと犬に認識して貰うこと。
犬に精神的、肉体的な満足を与えられること。
犬は、メリハリで好きなこと嫌いなことを理解するのです。
褒める時の声は大げさに高く、叱る時は低い声で短く直ちになのです。

犬の皮膚病に関しては、
ご心配ならアレルギー検査をされると良いと思います。
ストレスで舐める場合には、肉球や肢端部分が多いです。
家の場合は肉球でしたが、私が保護仔犬の里親探しなどでバタバタしている時にやられました。
舐める−唾液でかぶれる−痒い−舐めるの悪循環。
落ち着いたのは全ての子犬に飼い主さんが見つかってから。
未だに、「構ってくれないと舐めるよ」のポーズで脅されますけど。

週１度のシャンプー、洗いすぎもあるように思います。
ブラッシングはされていますか？
脂漏症などでなければ洗いすぎ（皮脂を取りすぎ）る為に返って皮膚炎を引き起こしていることもあります。
シャンプーの濯ぎが不十分の場合にも皮膚炎を起こしやすくなります。
良く渇かしていないと毛が蒸れ雑菌が繁殖します。
ブラッシングとドライタオルでマッサージをすることでも良いのではと思います。
犬の皮膚は人よりずっと弱くデリケートです。
アレルギー体質なのか皮膚炎の原因（菌）があるのかの検査は、掛かり付けの獣医さんに聞いて下さいね。

ペットシーツには高分子ポリマー配合されているものもありますから、気になるようでしたら、新聞紙を代用されると良いと思います。
ポリーマーシーツではなく悪戯防止オシッコ用マット製品などもあります。
まずは、十分なスキンシップから始めて下さいね。