この際、ケージを使用してしまうというのはいかがでしょうか。

今までどちらの子も自由に暮らしてきたようですから慣れるまでには時間もかかるでしょうし
ご家族も「閉じ込めるのはかわいそう」という感情が生まれてしまいますでしょう。
でも、犬や猫にしてみればある日突然に一緒に眠れなくなるようになったのは同じですから
それであれば、あきらめのつきやすい状況を作り出す方がよりストレスも長引かずに済む気がするのです。
１−２週間ほどはどちらの子も鳴くかもしれません。ケージをガリガリとするかもしれません。
でも、そこに人がいなかったら諦めもつきやすく、長く鳴くこともないでしょう。

また、ケージを好きになるように普段からケージの中で食事やおやつを与えるようにするといいでしょう。
これについては「クレートトレーニング」と検索をかければ方法がヒットするはずです。

人の健康の問題が原因とおっしゃっていますから、このままで人が健康を害し、その子達の面倒を見れなくなるほうが
かわいそうな状況になると思い心を鬼にして徹底して行わなければならないでしょう。
特に犬などは「閉じ込めてかわいそうに。ごめんね」などと思って心の隙間を見せると
なかなか思うようにいかないものです。
「これからも一緒に生活していくためだから、仕方がないの」とでも思うようにしましょう。
そうすれば、犬にもきちんと伝わるでしょう。

何歳からでも犬や猫はきちんと順応してくれます。
そうやって人と暮らしてきた動物ですから。
がんばってくださいね。