まだお家に来て間もないですし、生後３ヶ月と小さい子なので
極力お出かけは控えられた方がいいと思いますよ。
外出にストレスを多く感じる子ですと体調を崩す事がありますし。
食欲などはどうでしょうか？いつもより食欲が落ちていたり
フンが小さくなっているような事はありませんか？

ケージに入れる際に無理やり抱っこ・・とありますが、
基本的にうさぎは抱っこがキライな子が多いです。
ですのでうさぎを抱っこしたら膝上などで十分落ち着かせてから
ケージに戻してあげるようになさった方がいいですよ（＾▽＾*）
保定のやり方は飼育本かネットで検索するといくつかサイトがあります。

暑さ対策ですが引き出しタイプのケージでしたらアウトドア用の保冷剤を
引き出しの中に入れてあげるのもいいと思います。
水を入れて凍らせたペットボトルなども利用出来ますが、
直接触れられないようにしてあげて下さい。
それ以外にも市販のアルミボードや天然石のボードなどもあります。

寝る時に呼吸が速くなるのは毎日でしょうか？
運動後などでしたら呼吸が速いと感じる事がありますが
動いていないのに呼吸が速くなるのでしたらやはり暑いのだと思います。＾＾；
クーラーなどで涼しくなった後はどうでしょう？呼吸は速いままですか？
クーラーや扇風機の風がうさぎに直接あたらないようにして
温度や湿度には気をつけてあげて下さいね。