まずは・・・通常サークル飼いなのですね？
ウサギさんはホリホリできるものがあると、大興奮です♪
まだ若くて未避妊未去勢だとなると、盛大にオシッコを飛ばしてくれますね（＾＾；；
まぁ、それはウサギさんのお仕事ですから、仕方がありません。
でも確かに興奮してバリバリやった挙句に、噛み千切ってモグモグやるのは、本当に困っちゃいますね。
と言う事は、布をモグモグしない方法を考える。
まず一番簡単なのは、すのこを使う。すのこを敷き詰めてしまうのです。
ウサギ用のプラスチックでも良いですし、かじっても気にならない木製も良いでしょう。
木製のものは替えを用意して、時々洗って天日で乾かす。そうすればにおいも気にならないと思います。
冬場の冷え込みに対しては、下にホットカーペットや断熱材の敷物を敷いて底冷えを防ぐ。ウサギさんがもぐれるハウスを用意してあげる。移動用のキャリーを入れるのもお役立ちです。（普段から出入りしていると自分の領地と認識して、移動時もリラックスします）　お部屋に暖房を入れているなら、下のホットカーペットは不要ですね。
お住まいの地域によって色々工夫は出来ると思いますので、色々なサイトやブログを除いてみてくださいね。
ちなみに、毛布などはともかく、バスタオルやタオルケットなど、繊維がループ状になっているものは爪を引っ掛けて手足をいためることもあるので、出来れば使わないほうが良いと思います。ループ状に織り込まれているものは、一端を引っ張ると長い糸が出てきますので、それをモグモグお腹にしまわれるのが一番怖いのです。ビニール的なものも困ります。
裏に断熱材を張ってあるフローリングのようなもの（ただし滑りやすいものは、足腰にはあまり良くありませんが）、硬いコルク材で出来ているもの（これも沢山食べてしまっては困りますが）、ワラやチモシーで作った敷物を敷き詰める（破壊されるたびに交換で費用がかかります）等、ウサギさんの歯が引っかかりにくいもの、食べてしまっても大丈夫なもの、あれこれ考えられますね。
それ以外にもあると思いますので、ホームセンターなどを見て回るのも、案外お役立ちですよ。
可愛いウサギさんのために、頑張ってくださいね。