なおさん、はじめまして。お世話係のGOと申します。

ミドリガメ（多分、ミシシッピーアカミミガメですね）の
身体に綿のようなものが付着したということですね。
恐らく水カビと呼ばれる水生菌による皮膚疾患ではないでしょうか。

まず、飼育環境を確認させて下さい。
・室内飼育ですか？
・環境温度（水槽内の気温）は25〜30度を保ってますか？
・水温は25〜28度は保っていますか？
・爬虫類飼育用の紫外線を出すライトは使用してますか？
・水槽（ケージ）に完全に乾いた陸場はありますか？
・その陸場に甲羅干し用のホットスポットはありますか？
　（レフ電球等で照らした30〜35度の場所）
・水場は甲羅が隠れる程度の深さですか？
・上記以外でも日光浴をさせてますか？
・水をまめに替えていますか？
いかがでしょうか？もし、出来ていないなら
早急に上記の環境を作ってあげてみて下さい。

その他、
身体を完全に乾かす時間を毎日２〜３時間は作って下さい。
子ガメでも大変に水を汚すのでカルキ抜きした水を
少なくても２〜３日に１回は交換してみて下さい。
綿のようなカビは優しく取り除いて。
細かな外傷からますます菌が繁殖します。
また、カメさんには紫外線が不可欠です。
ガラス越しでは意味がないので出来れば直射日光で
甲羅干しをさせて下さい。

取り急ぎ思いつく点を記しました。
カメさんが早く良くなりますように。