ＡＨＴや看護師さんではないので、投稿された方の求めている回答とは異なるのではないかと思いますが。
まず、勤務してまだ４ヶ月ということであれば、院長先生は「気の効いた言葉」は期待していないと思います。遺体の扱いを丁寧に、キチンと頭を下げて見送るというマナーについてまででしょう。

人間でも動物でも「死」というものには、２つの段階があります。実際に亡くなった時がまず最初であり、その後人々が亡くなったもののことを忘れていく時です。
治療し、世話をした者として病院が、亡くなった動物のことを忘れていませんよというメッセージを送ることはできると思います。昨今は、動物病院用にこのようなお悔やみや一周忌用のメッセージカードも販売されています。
（　なんと、このカードの作者は、大学の同級生です　）
このような形でも気持ちを伝えることは可能ではないかと考えます。

ただし、このようなカードメッセージにしても、病院としての方針もあるでしょうし、また、飼い主さんのご家庭事情もあるでしょう。
カードを送られることで「死んだ子の歳を数える」ことになるかもしれませんし、すでに新しい子を迎えていて、かえって…ということもあるかもしれません。

動物病院というのは、つくづく人間関係なのです。器用さではなく、相手を思いやる心をそだてていくことにつきます。