> よく分からないのは「売却」と｢処分｣です。
まず犬を渡して、犬種や状態によって売却できるか検討、又は、買受人を探しその後、
売却できないと判断された場合の処分が「引き渡すことが適当と認められる者」に渡すということでしょうか。

「落とし物」が「犬」の場合、売却はまずありえません。
わかりやすくいうと、遺失物法のなかで犬はビニール傘と同じ金銭価値で扱われます。
売却の対象ではなく、「処分」です。
ビニール傘は2週間保管後に処分(廃棄)、犬は2週間後に処分(引き渡すことが適当と認められる者に渡す)、これが遺失物法に書かれています。
ただし、これが当てはまるのは首輪をしている犬です、遺失物法の解釈と運用の目安として。
首輪をしていない犬は誰の所有物でもないものとして扱われますから、警察署での保管は原則的に無しで、すぐに保健所・愛護センターへ移送するのが改正遺失物法の趣旨です。
が、それはいくらなんでもと、数日は署に置いて飼い主を待つ配慮をしてくれる警察署が多いです。
首輪の有無に関係なく、犬種にも関係なく、犬のきれい汚いにも関係なく、飼い主を待ってみようとしてくれる警察署もあります。

> 私が警察へ届けた時は、私が預かって飼い主を探すか、預かれないのなら犬を引き渡すか(渡した場合、2〜3日警察署で預かり、その後愛護センターへ連れていくことになる)
どちらにするかで書類が違うので、と言われ預かって飼い主を探すつもりでいたので手続きしましたが、所有権が移るのは3ヶ月後と説明され、書類の拾得者の引取期間にも12月12日からと書かれています。2週間と3カ月、どちらが正しいのでしょう？

動物を拾った場合は2週間です。
が、この点について遺失物法の解釈と運用が全警察署で統一されていません。
というのも、遺失物法では「動物は2週間たてば処分していい」となっていますが、「所有権を移していい」とは書いてありません。
なので、あくまでも「3ヵ月後までは所有権は移りません」としている警察署が多いです。
http://www.police.pref.hiroshima.lg.jp/001/kunrei/kaikei0621h191018.pdf

> また、預かり期間の治療についてですが、今すぐどうこうということはないと言われ
保護犬だからか、特に治療も勧められませんでしたが、緊急でない場合は所有権が移ってから治療する方が良いのでしょうか？

とはいえ、フィラリアの検査をしてから、フィラリアの薬を飲ませる必要は出てきますね。
このへんのことは拾った人の気持ち次第で決定するしかないと思います。
「してはいけない」とは警察も言いません。