> 私も暑さ等は気にしてましたが、貨物室は温度調節されてるから大丈夫です。と言われました。昨年の夏も大丈夫だったと…全日空を利用します。
空輸時間は１時間です。

生後2ヶ月、超小型犬、短頭種、真夏の空輸・・・4つも悪条件が重なっています。仔犬入手法として最も条件が悪いことだけはわかってくださいね。
空輸に伴う発病・死亡について補償の話をブリーダーと事前にしておくことをおすすめします。

> よくパピーワクチンと言うのは５種になるのですか？

「パピーワクチン」という言葉は2つの使われ方がされており、その言葉の定義がまだ定まっていないように私は感じています。
2つの使われ方のうちのひとつは単に「仔犬のときに打つワクチン」という普通の意味。
従来のワクチネーション・プログラム(生後2ヶ月目に１回目・生後3ヶ月目に2回目・さらに必要と思われるなら生後4ヶ月目に3回目・以降年に1回)のうち、生後2ヶ月目に打つ１回目の接種を指して「仔犬のときに打つワクチン」＝「パピーワクチン」と呼ぶ人がいます。
もうひとつの使われ方は「母犬からの移行抗体に影響されないワクチン」という意味で、生後1ヶ月で打つことができます。
母犬からの移行抗体が残っているうちはワクチン接種をしても仔犬は免疫を獲得できませんが、パピーワクチンなら移行抗体に影響されずにジステンパーやパルボの免疫をつけることができます。
が、私見としては2種パピーワクチンじゃ安心できないというのが本音です。
早く打って早く売る、ご都合主義の産物のような気がします。
お住まいの地域の獣医さんから5種を薦められているなら生後2ヶ月で5種を打つべきでしょう。

> ９種と５種で比べると子犬にかかる負担は変わりますか？９種の方が負担が大きいですか？

負担の大小は変わりません。９種なら負担が大きく、5種なら負担が少ないということはなく、どちらも仔犬にとっては負担になります。