>餌を食べなくなったら、動きも鈍くなるのでしょうか。

ご存知の通り爬虫類は変温動物ですから、ご飯を食べなくなったらというより、
気温が低くなれば動かないでじっとしていることが多いです。
「冬眠」というと、秋にしこたま食べて冬を越す獣とか、
土中などでじっとしているカメやヘビのイメージを持たれると思いますが、
ニホンヤモリの場合は冬眠というより、ひたすら省エネに徹して冬を
やり過ごすといった感じです。

>隠れてしまっていると姿が確認できないので心配なのですが、覗いたりするのはよくないですか。

必要ならば見るしかないでしょうし、かといって繁盛に見るのは迷惑でしょうね。
餌を食べる時期には1〜2日に1回、程度餌を入れるのと簡単な掃除をいっぺんにします。
その程度は維持していく上でも最低限の部類だと思いますので。
冬は気になったときにケージ内の汚れ具合とか見ますが、外から観察するだけのことが多いです。

>一日中ではないにしろ、冬に暖房を入れるような部屋には置かない方がよいですか。

暖房の熱が直接当たるのでもなければ部屋の片隅に置くくらいは問題ないかと。
（でもヒーターを既に入れているんじゃなかったでしたっけ？）
何はともあれ、まずケージを置く場所の一日の最低・最高温度を把握して、
低い時でも15度前後保っていれば安全策と言えるんじゃないかな。