一般的な人馬共通の伝染病と言うと蚊の媒介による脳炎（日本だと日本脳炎）でしょうか。
これは馬からすぐ人間ではなくて（その逆でもなく）原因ウイルスがウイルスの媒介者である蚊（種類は細かくなるので省きます）によって運ばれますが、環境的にウイルスに感染した豚と蚊の間において豚は血液中に高濃度のウイルスを保有し、夏季の蚊の大量発生に伴って豚との間にウイルスの増幅と拡散が行われ、感染した豚の血を蚊が吸う事で、比較的発症しやすい馬や人に入り込み、感染します。
自然界における感受性動物は人、馬、牛、豚、鷺や鳩などあり、人と馬は特に感受性が強いと言われています。
ウマインフルエンザウイルスはトリインフルエンザウイルスよりヒトインフルエンザウイルスに近く、抗原の変異が激しく、ワクチンが追いつかないような状態が結構あるため、研究が急がれてきていますね。ただウマのインフルエンザウイルスの方がヒトのそれより変異は比べると緩慢だと言われています。
それでもインフルエンザウイルスは恐竜がいた時代一億年から今までの進化を１０年で行ったと言われているくらい進化が早いと言われています。
外国では新型でトリからウマに感染したと思われるものも出たりしていますが、それでも予防にかなり力を入れてきている効果は大きいと思います。

ウマが持っているウイルスがあるとすると、人間にも厄介なものは確かにありますが、法定伝染病として指定されている物も多く、大体発症してくれば大きな問題になるものですから一般的に持っているとはいえないと思います。

外国ではウマのクラミジアが分離されている事はありましたが、不顕性感染が多かったなどの報告もありますが、日本ではまだ今のところ無いように思います。ウマからヒトの感染の報告はまだ無いようです。
クラミジアも種類は違う色々な種類があり、牛や羊、豚、山羊、など色々症状は違います。
オウム病のクラミジアは人畜共通感染症ですが、羊の流産を起こし、それを調べていたヒトがオウム病の呼吸器の疾患が出たと言う事もあります。

どの様な動物と接しても、常にうがいや手洗いを励行する事で、衛生的な面を気をつけることは必要な事だと思いますが、必要以上に神経質になる事も無いと思います。
健康な動物であるように、毎日の世話や環境衛生を気をつけていくことでも防げる感染症は多いと思います。